Letysite.ru

IT Новости с интернет пространства
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Онлайн калькулятор нелинейное программирование

Особенности задач нелинейного программирования

Большинство существующих методов в нелинейном программировании можно разделить на два больших класса:

  1. Прямые методы — методы непосредственного решения исходной задачи. Прямые методы порождают последовательность точек – решений, удовлетворяющих ограничениям, обеспечивающим монотонное убывание целевой функции.
    Недостаток: трудно получить свойство глобальной сходимости.
    Задачи с ограничениями в виде равенств.
    Метод замены переменных (МЗП)
  2. Двойственные методы — методы, использующие понятие двойственности. В этом случае легко получить глобальную сходимость.
    Недостаток: не дают решения исходной задачи в ходе решения – оно реализуемо лишь в конце итерационного процесса.
    • Метод множителей Лагранжа (ММЛ)
    • Методы штрафов
    • Метод множителей
    • Методы линеаризации для задач условной оптимизации
      Алгоритм Франка–Вульфа
      Метод допустимых направлений Зойтендейка
    • Метод условного градиента
    • Метод проекции градиента
    • Сепарабельное программирование.
    • Квадратичное программирование

Методы поиска нулей функции

  1. Метод Ньютона (Метод касательных)
  2. Метод хорд
  3. Комбинированный метод
  4. Метод итераций
  5. Метод секущих

Методы минимизации функций

Функция одной переменной

Функция двух переменных

  1. Матрица Гессе. . Позволяет ответить на вопрос является ли функция выпуклой или вогнутой, а также определить тип экстремума (минимум или максимум).
  2. Производные второго порядка
  3. Экстремум функции двух переменных.

Методы прямого поиска

  1. Метод Хука–Дживса
  2. Метод сопряженных направлений (метод Пауэлла). Найти минимум целевой функции методом сопряженных направлений: f(x)=3x1 – x1 3 + 3x2 2 + 4x2. x 0 =(0.78;1)

Градиентные методы

  1. Метод наискорейшего спуска (метод Коши).
  2. Метод Ньютона
  3. Метод Марквардта. Найти минимум функции: y=x1 2 +4x2 2 +x1x2+1-5x2 методом Марквардта с начальной точкой (10;10) и εxy= ε|f(x)|=0.5. Предельное число итераций равно M=5.
  4. Метод сопряженных градиентов (метод Флетчера-Ривса).
  5. Метод Бройдена–Флетчера–Гольдфарба–Шанно (квазиньютоновские методы).

Нелинейное программирование

Прямые методы

  1. Метод множителей Лагранжа. В задачах 301-320 используя метод множителей Лагранжа найти точки экстремума функции z=f(x,y) при заданном условии: z=xy+7x , 2x+y=1
  2. Условия Куна-Таккера.

Метод проекции градиента.
Метод условного градиента.

Методы линеаризации для задач условной оптимизации

Методы перебора применимы для отыскания экстремумов унимодальных целевых функций. Действие любого из методов поиска заключается в сужении области поиска экстремума (длины l 0):
а) до области заданной длины (e> 0), проводя минимальное число измерений значений функции (методы дихотомии, золотого сечения);
б) до наименьших возможных размеров ln при заданном числе измерений n (метод Фибоначчи).
Первая формулировка целесообразна в том случае, если с каждым измерением связаны значительные затраты средств или времени, однако на поиск отпускаются неограниченные средства, которые мы все же стремимся минимизировать; вторая – когда исследователь располагает ограниченными средствами и, зная расходы, связанные с каждым измерением, стремится получить наилучший результат.

Классические методы нахождения экстремумов функций предполагают, что целевые функции непрерывные и гладкие. Для существования точки экстремума должны выполняться необходимые и достаточные условия. Необходимыми условиями существования экстремума являются требования обращения в нуль частных производных первого порядка целевой функции по каждой из переменных. Точка, найденная из необходимых условий, называется стационарной (подозрительной на оптимальную). В качестве стационарных точек могут быть точки перегиба, седловые точки и др. Поэтому необходим учет достаточных условий нахождения экстремумов функций. Он сложен для функций многих переменных как в алгебраическом, так и в вычислительном плане. Так в случае функции двух переменных достаточным условием существования экстремума будет положительная определенность матрицы А размером 2×2 (условие Лежандра-Клебша), составленной из вторых частных производных функции. Недостатком классического метода дифференциального исчисления является и то, что он дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри области определения функции. Если экстремум находится на границе области определения, то этот метод становится бессильным.

Методы покоординатного спуска относятся к группе приближенных методов нелинейной оптимизации и направлены на уменьшение трудностей, связанных с отысканием экстремума функции цели со сложной аналитической структурой классическими методами дифференциального исчисления. Суть этих методов заключается в продвижении от исходной точки в области определения функции к точке оптимума итеративно; в методе Гаусса – последовательно по каждой из переменных (покоординатно); в градиентных методах – одновременно по всем переменным в направлении градиента или антиградиента.

Критерием окончания итеративных процедур является равенство нулю всех частных производных целевой функции, или квадрат суммы всех частных производных целевой функции должен быть не более заданного числа e, или разность достигнутого значения целевой функции и значения в предыдущей точке должна быть не более e и другие.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Этот калькулятор сможет за секунду решить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, методом Крамера или матричным методом. Системы можно исследовать на совместность по теореме Кронекера-Капелли, найти общее, частное и базисные решения, а также определить количество решений.

Добро пожаловать на сайт Pocket Teacher

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

начать

Система линейных алгебраических уравнений

Как решать линейные уравнения

Каждое уравнение в системе является линейным – алгебраическим уравнением первой степени. Также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ.

Коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные в классическом варианте считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются, либо естественным образом обобщаются, на случай любых полей, к примеру, комплексных чисел.

В зависимости от количества уравнений в системе алгебраических уравнений, содержится столько же переменных. Например, если уравнения два, то и в системе уравнений будет две переменные, x и y. Решением такой системы алгебраических уравнений будут всевозможные пары (x, y), при подстановке которых в каждое уравнение системы будет получаться верное равенство.

Читать еще:  Языки программирования высокого уровня являются

Системы алгебраических уравнений часто записывают в матричной форме, значения которой будут соответствовать соответствующим коэффициентам уравнений в системе. А значит для решения алгебраических уравнений можно использовать калькулятор.

Решением алгебраических уравнений могут быть пары как целых, так и дробных чисел. В системе линейных алгебраических уравнений не допускается возведение в степень и извлечение корня, иначе они перестанут быть линейными.

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных способов для этого. Вы можете решить систему алгебраических уравнений, используя онлайн калькулятор. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

Бесплатный онлайн калькулятор линейных уравнений

Наш бесплатный решатель линейных уравнений и любых функций позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Онлайн калькулятор нелинейное программирование

Задачи математического программирования

max (min) Z = ƒ(x); (6.1)

в которой либо целевая функция (6.1), либо ограничения (6.2), либо и то и другое не линейны, называются нелинейными.

Сложность решения задач нелинейного планирования заключается кроме нелинейности условий задачи еще и в том, что некоторые переменные могут изменяться не непрерывно, а принимать ряд заданных фиксированных значений. Кроме того, сложность решений и в том, что целевые функции могут иметь не один, а несколько максимумов (минимумов), и нужно найти глобальный экстремум.

Геометрическая интерпретация задач нелинейного планирования аналогична задачам линейного планирования.

Общая постановка задачи нелинейного планирования может быть сформулирована следующим образом: найти параметры Х * (х1, х2,…, хп), обращающих целевую функцию W = ƒ(х1, х2,…, хп) в mах(min) при условии наложенных ограничений

число ограничений меньше числа переменных; и (или) целевая функция, и (или) ограничения представляются нелинейными зависимостями.

Нелинейные задачи составляют широкий класс настолько сложных задач, что до сих пор невозможно разработать общие методы, подобные симплекс-методу в линейном программировании, которые позволяли бы решать любые нелинейные задачи. Но, несмотря на отсутствие универсальных методов, разработаны способы решения специальных классов задач, и прежде всего задач с выпуклыми (вогнутыми) функциями ƒ(х) и φi(x).

Особенности решения задач нелинейного программирования.

При решении задач нелинейного программирования очень важно знать: 1) выпукло или не выпукло множество решений? 2) является ли критериальная функция W = ƒ(х) выпуклой или вогнутой, или не относится ни к тому, ни к другому классу?

Множество выпукло, если оно содержит точки А и В, а так же все точки прямой АВ.

Функция у = ƒ(х), определенная на выпуклом множестве Х, называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две его точки, принадлежит графику или располагается выше его (рис. 6.1. а). Функция у= ƒ(х), определенная на выпуклом множестве Х, называется вогнутой, если отрезок, соединяющий любые две его точки, принадлежит графику или располагается ниже его (рис. 6.1. б).

Аналогичные понятия можно привести и для функций многих переменных.

В математике доказывается ряд теорем, которые позволяют определять глобальные экстремумы. Так, для задач, в которых множество допустимых решений выпукло: 1) если ƒ(х) – выпуклая функция, то локальный минимум, определенный на выпуклом множестве Х, совпадает с ее глобальным минимумом на этом множестве; 2) если ƒ(х) – вогнутая функция на заданном выпуклом множестве Х, то локальный максимум ƒ(х) является глобальным.

Решение задач линейного программирования симплекс-методом Калькулятор онлайн

Симплексный метод является универсальным методом решения оптимизационных задач. За исходное решение берётся одно из возможных базисных решений (или «план», «программа»). Затем эта программа улучшается до тех пор, пока не будет найдена оптимальная программа. Наш калькулятор онлайн позволяет решать задачи как на максимум целевой функции, так и на минимум. При решении задач на минимум исходная задача линейного программирования сводится к двойственной задаче. При выполнении этих операций на бумаге часто возникают ошибки, а наш калькулятор онлайн поможет своевременно проверить ошибки.

Симплекс метод онлайн

Вычисление происходит за время немногим более секунды. Этот калькулятор находит максимум целевой функции. Если требуется найти минимум целевой функции, то следует воспользоваться калькулятором Решение двойственной задачи линейного программирования.

Как онлайн калькулятор находит решение задачи линейного программирования?

Он выдаёт шаги решения задачи симплекс методом, на которых преобразуется система ограничений и целевая функция. Это значит, что на соответствующем шаге функция цели не принимает оптимального значения и по определённому правилу совершается переход от одной вершины многогранника решений к другой пока функция цели не примет оптимального значения. По шагам решения можно наблюдать, как переменные, которые входят в выражение целевой функции с коэффициентом 0, являются неосновными, а остальные — основными. Таким образом осуществляется перевод переменных в основные и неосновные.

Читать еще:  Учебная практика по программированию задания

Материалы по теме Линейное программирование

Поделиться с друзьями

Введите данные вашей задачи, и вы получите подробное решение.
Используются лучшие онлайн-калькуляторы интернета.

Математический анализ

Предел

Производная

Производная функции от одной переменной

Производная функции от двух переменных

Производная функции от трех переменных

Производная параметрической функции

Вторая и третья производные

Интеграл

Разложение дроби на сумму элементарных дробей (для метода неопределнных коэффициентов)

Построение графиков

Построение графика функции (2D) в декартовых координатах

Построение графика функции в полярных координатах

Построение графика функции, заданного параметрически

Построение поверхности (3D)

Сумма числового ряда(см. пример…)

Разложение в ряд Фурье

Дифференциальные уравнения:

Линейное однородное уравнение

Линейное неоднородное уравнение

Уравнение в полных дифференциалах

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное уравнения 2-го порядка вида ay»+by’+cy=0 с начальными условиями

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Пирамида. Задача расчета параметров пространственной пирамиды по координатам вершин. Позволяет найти длины ребер, площади граней, объем пирамиды, длины высот, углы между ребрами, углы между гранями, углы между ребрами и гранями.

Получить уравнение прямой по двум точкам

Получить уравнение плоскости по трем точкам

Разложение вектора по базису

Линейная алгебра

Матрицы

Разложение определителя по строке или столбцу

Обратная матрица (метод алгебраических дополнений)

Обратная матрица (метод присоединенной матрицы)

Характеристическое уравнение матрицы

Собственные значения (числа)

Возведение матрицы в степень

Приведение матрицы к треугольному виду

Системы уравнений

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы (матричный метод)

Любая система уравнений

Теория вероятностей и математическая статистика

Биномиальное распределение: расчет Pn(k) при данных p и n

Гистограмма: группировка результатов эксперимента, подсчет частот

Обработка выборки (простой статистической совокупности) — будут построены: статистические ряды частот, полигоны частот, гистограмма, функция распределения, найдены точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

Особенности задач нелинейного программирования

Обработка группированного ряда абсолютных частот — будут построены: статистические ряды относительных частот, полигоны частот, гистограмма, функция распределения, найдены точечные оценки математического ожидания и дисперсии. ( см.пример…)

и – функции, непрерывные вместе со своими частными производными. Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. Вводят набор переменных , называемых множителями Лагранжа, и составляют функцию Лагранжа

находят частные производные

и рассматривают систему n + m уравнений

(15.3)

с n + m неизвестными , . Решив систему уравнений (15.3), получают все точки, в которых функция (15.1) может иметь экстремальные значения.

решение задачи нелинейного программирования онлайн

Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума. Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, так как система (15.3), как правило, имеет несколько решений.

Пример. Найти точку условного экстремума функции при ограничениях

Составим функцию Лагранжа:

Продифференцируем ее по переменным . Приравнивая полученные выражения к нулю, получим следующую систему уравнений:

Из второго и третьего уравнений следует, что ; тогда

Решив данную систему, получим:

и

Аппроксимация функции одной переменной

Калькулятор использует методы регрессии для аппроксимации функции одной переменной.

Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.

Аппроксимация функции одной переменной

Линейная регрессия

Коэффициент линейной парной корреляции:

Средняя ошибка аппроксимации:

Квадратичная регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c:

Коэффициент корреляции:
,
где

Средняя ошибка аппроксимации:

Кубическая регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Степенная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Показательная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Гиперболическая регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Логарифмическая регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Экспоненциальная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Вывод формул

Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.

Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.

Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:

Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.

Читать еще:  Программирование диалога с компьютером

Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:

Для функции вида частные производные равны:
,

Подставив производные, получим:

Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.

Нелинейное программирование — Nonlinear programming

В математике , нелинейное программирование представляет собой процесс решения одной задачи оптимизации , где некоторые из ограничений или целевой функции нелинейны . Задача оптимизации является одним из расчета экстремумов (максимумов, минимумов или стационарных точек) в качестве целевой функции над множеством неизвестных действительных переменных и условно к удовлетворению в системе из равенств и неравенств , в совокупности называются ограничениями . Это подпол из математической оптимизации , которая имеет дело с проблемами , которые не являются линейными.

содержание

применимость

Типичная не- выпуклая проблема заключается в том , что оптимизации транспортных расходов путем выбора из набора методов транспортировки, один или более из которых демонстрируют эффект масштаба , с различными связностей и ограничения пропускной способности. Пример может быть нефтяным транспортным продукт дал выбор или комбинацию трубопровода, железнодорожный танкер, автоцистерн, речную баржу или прибрежную tankship. Благодаря экономического размеру партии функции затрат могут иметь разрывы в дополнении к разглаживают изменения.

В экспериментальной науке, некоторый простой анализ данных (например, фитинг спектра с суммой пиков известного местоположения и формы, но неизвестной величина) может быть сделано с линейными методами, но в целом эти проблемы, кроме того, являются нелинейными. Как правило, один имеет теоретическую модель рассматриваемой системы с переменными параметрами в нем и в модели эксперимента или экспериментов, которые также могут иметь неизвестные параметры. Один пытается найти наиболее подходящий вариант численно. В этом случае один часто хочет меру точности результата, а также самого наилучшего.

Определение

Пусть п , т и р целые положительные числа. Пусть Х подмножество R п , пусть е , г я и ч J быть вещественных функций на X для каждого я в < 1 , . т > и каждый из J в < 1 , . р >, по крайней крайней мере один из е , г I и ч J является нелинейной.

Нелинейная задача минимизации является задачей оптимизации формы

минимизировать е ( Икс ) при условии г я ( Икс ) ≤ 0 для каждого я ∈ < 1 , . , м >час J ( Икс ) знак равно 0 для каждого J ∈ < 1 , . , п >Икс ∈ Икс , < Displaystyle < начинаются <выровнены>< текст <минимизировать>> & Р (х) \ < текст <подлежат>> & g_ <я>(х) Leq 0 < текст <для каждого>> я в <1, dotsc, м \>& H_ (х) = 0 < текст <для каждого>> J в <1, dotsc, р >\ & х в X. <конец выровнен>>>

Нелинейная задача максимизации определяется аналогичным образом.

Возможные типы ограничений набора

Есть несколько возможностей для природы множества ограничений, также известной как допустимое множество или допустимой область .

Неосуществимая проблема в том, для которого не набора значений для переменного выбора не удовлетворяет все ограничения. То есть, ограничения противоречат друг другу, и решения не существует; допустимое множество является пустым множеством .

Возможно проблема в том, для которого существует по крайней мере один набор значений для выбора переменных , удовлетворяющих все ограничения.

Неограниченная проблема является осуществимой проблемой , для которой целевой функция может быть сделана , чтобы быть лучше , чем любая заданной конечная стоимость. Таким образом , не существует оптимальное решение, потому что это всегда целесообразное решение , которое дает лучшее значение целевой функции , чем делает любое данное предложенное решение.

Способы решения проблемы

Если целевая функция F является линейным и ограниченным пространством является многогранником , проблема является линейным программированием проблемой, которая может быть решена с использованием хорошо известных методов линейного программирования , такие как симплекс — метода .

Если целевая функция является вогнутой (задача максимизации) или выпуклой (задача минимизации) и ограничивающее множеством является выпуклой , то программа называется выпуклые и общие методы с выпуклой оптимизации можно использовать в большинстве случаев.

Если целевая функция является квадратичной и ограничения являются линейными, квадратичными программирование используются методы.

Если целевая функция представляет собой отношение вогнутого и выпуклая функция (в случае максимизации) и ограничения выпуклы, то проблема может быть преобразована в выпуклую задачу оптимизации с использованием дробных программирования методов.

Существует несколько методов для решения невыпуклых проблем. Один из подходов заключается в использовании специальных формулировок задач линейного программирования. Другой метод предусматривает использование ветвей и связанных методов, где программа делится на подклассы , чтобы быть решена с помощью выпуклой (задачи минимизации) или линейных приближений , которые образуют нижнюю границу на общую стоимость в пределах подразделения. При последующих подразделениях, в каком — то момент фактическое решение будет получено, стоимость которого равна лучшей нижней границы получается для любого из приближенных решений. Это решение является оптимальным, хотя , возможно , не единственным. Алгоритм также может быть прекращен досрочно, с гарантией того, что наилучшее решение находится в пределах допуска от лучшей точки , найденной; такие точки называются ε-оптимальным. Нагрузочный для ε-оптимальных точек , как правило , необходимо обеспечить конечное завершение. Это особенно полезно для больших, сложных проблем и проблем , связанных с неопределенностью затрат или значений , где неопределенность можно оценить с помощью соответствующей оценки надежности.

Под дифференциальной и ограничениями квалификации , то Каруш-Куна-Таккер (ККТ) условия обеспечивают необходимые условия для решения является оптимальным. Под выпуклостью, эти условия являются также достаточными. Если некоторые из функций недифференцируема, субдифференциал версии Каруша-Куна-Таккера (KKT) условия доступны.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector