Letysite.ru

IT Новости с интернет пространства
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Методы квадратичного программирования

Методы решения задач квадратичного программирования;

Применение условия Куна-Таккера для решения З.К.П.

min f(x) =

≤ bi , i = 1 ÷ m

Составим функцию Лагранжа:

L (x, d) =

Преобразуем полученную систему таким образом, чтобы линейные неравенства стали равенствами.

Таким образом, задача свелась к решению системы линейных уравнений с учетом дополнительных нелинейных ограничений.

Дополнительные ограничения означают, что переменные (xj и Vj) или (λi и Ui) не могут однозначно бысть отличны от 0, т.е. не могут одновременно присутствовать в базисе.

Система линейных равенств может быть решена с помощью симплекс-преобразований.

Метод Билла для решения З.К.П.

Является обобщением симплекс-метода и применяется для решения З.К.П.

min f(x) =

= bi , i = 1 ÷ m

Равенство и переменные неотрицательны.

Будем предполагать, что данная задача является задачей выпуклого программирования (f (x) – выпуклая вниз).

1) Найти исходное опорное решение (с помощью симплекс-преобразований).

Предположим, что систему ограничений удалось разрешить, относительно базисных переменных x1…xm, тогда xm+1…xn – свободные.

xi = bi + , i = 1 ÷ m,

Выразим функции f(x) через свободные переменные

f(x) =c+

2) Проверка найденного решения на оптимальность.

Для проверки решения на оптимальность вычисляются частные производные от функции f(x) по всем свободным переменны в найденной точке.

Согласно условиям Куна-Таккера, найденное решение будет оптимальным, если все частные производные , j=(m+1)÷n

Если найдется хотя бы одна производная отрицательная, то за счет введения свободной переменной в базис решение можно улучшить.

Предположим, что частная производная

Переменную xm+1 будем вводить в базис.

3) Переход к новому опорному решению.

Предположим, что при увеличении переменной xm+1, первой в 0 обращается базисная переменная, например x1.

Тогда из выражения x1= b1+ найдем переменную xm+1= bm+1+a(m+1),1x1+ и подставим полученное выражение в уравнение для всех базисных переменных и целевую функцию.

Найденное решение необходимо проверить на оптимальность.

Пусть при увеличении xm+1 первой в 0 обращается производная

Введем дополнительную переменную U1= и из полученного выражения найдем xm+1

Полученное выражение подставим в уравнение для всех базисных переменных и в целевую функцию.

Найденное решение необходимо проверить на оптимальность.

1) Переменная U1 является неограниченной по знаку, поэтому условие оптимальности по этим переменным имеют вид

2) Если при выполнении очередной итерации U1 стала базисной, то ее можно исключить из дальнейших рассуждений.

Поэтому, проверяя решение на оптимальность, в первую очередь проверяется условие оптимальности по переменной U1

3) Задача max f(x)

Условие оптимальности j=(m+1) ÷n

Если найдется хотя бы одна положительная производная, например то найденное решение можно улучшить, за счет ввода переменной хm+1 в базис.

Если при вводе хm+1 в базис имеем Случай № 2, то дополнительная переменная U1 =

Квадратичное программирование

Задачи квадратичного программирования (КП) имеют место, если целевая функция – сумма линейной и квадратичной форм, а все условия линейные.

Например, в задаче с двумя переменными целевая квадратичная функция записывается следующим образом:

линейная форма квадратичная форма

В векторной форме она принимает вид

.

Обобщая на случай многих переменных, получаем:

Матрица С – квадратная, диагонально-симметричная (Cij=Cji).

В целом задача квадратичного программирования ставится в виде:

(8.10)

; (8.11)

. (8.12)

Чтобы она являлась задачей выпуклого программирования, целевая функция (8.10) должна быть вогнутой.

Свойства функции определяются матрицей С.Для вогнутости функции необходимо, чтобы матрицаСбыла отрицательно определенной (строгая вогнутость) или отрицательно полуопределенной. Матрица С отрицательно определенная, если для всех ненулевых X справедливо Х T СХ T СХ £ 0. В случае минимизации целевая функция должна быть выпуклой, что имеет место при положительно определенной или положительно полуопределенной матрице С. Практически определить свойство квадратичной функции можно с помощью достаточных условий экстремума: если функция в стационарной точке имеет максимум, она вогнутая, а если минимум, то выпуклая.

Далее будем полагать, что условия вогнутости функции выполняются. Тогда решение задачи КП можно найти на основе следующей теоремы.

Для того чтобы вектор Х* являлся решением задачи (8.10)-(8.12), необходимо и достаточно существования таких неотрицательных m-мерных векторов W и L и неотрицательного n-мерного вектора V, которые удовлетворяют следующей системе уравнений:

D + C×X * -A T ×L + V = 0, (8.13)

B — A×X * — W = 0, (8.14)

Покажем, что теорема выводится из условий Куна-Таккера. Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи имеет вид

.

Записываем условия (8.5):

.

Введя в это неравенство неотрицательный вектор дополнительных переменных V, получаем (8.13). (8.14) – это исходное условие задачи после приведения его к равенству вводом неотрицательного вектора дополнительных переменных W. Очевидно. что производная , когда дополнительная переменная V>0 и , когда V=0. Таким образом, V играет роль индикатора производной. Поэтому условие дополняющей нежесткости (8.6) принимает вид (8.15). Аналогична взаимосвязь вектора W с производной F по L, и отсюда имеем второе условие дополняющей нежесткости (8.16).

Система уравнений (8.13)-(8.16) – нелинейная, так как нелинейны (8.15) и (8.16). Она содержит (m + n + 2) уравнений и 2×(m + n) неизвестных X*, L, V и W.

Так как и векторы V и X неотрицательны, из (8.15) следует, что по крайней мере n переменных из vj и xj равны 0. Аналогично из (8.16) вытекает, что равны нулю не менее m переменных из wi и li. Таким образом, в решении системы (8.13)-(8.14) положительными могут быть не более (m + n) переменных. Это свойство системы дает ключ к решению.

Действительно, линейная система (8.13), (8.14) содержит n+m уравнений и 2(n + m) неизвестных. Но известно, что в искомом решении число положительных переменных не превышает (m + n). Следовательно, это допустимое базисное решение (опорный план) системы (8.13), (8.14). Поэтому искать решение задачи КП нужно только среди опорных планов этой системы. Такие решения находятся методами линейного программирования. Опорный план системы (8.13), (8.14), удовлетво­ряющий условиям (8.15), (8.16), будет оптимальным решением задачи КП.

Перепишем уравнения (8.13), (8.14) в обычном виде:

(8.17)

Если вектор D – неположительный, а вектор B – неотрицательный, то начальное базисное решение V=-D, W=B удовлетворяет условиям (8.15), (8.16) и, значит, является оптимальным решением задачи КП. Однако, как правило, вектор D имеет положительные компоненты и такое начальное решение оказывается недопустимым. В этом случае, ориентируясь на использование прямого симплекс-метода, строится искусственное начальное решение: в уравнения (8.17) с отрицательной правой частью вводятся искусственные переменные yk и они вместе с неотрицательными vj и wi образуют базисное решение. В качестве критерия линейной задачи принимается сумма искусственных переменных:

Читать еще:  Особенности языков программирования высокого уровня

Для выполнения условий дополняющей нежесткости (8.15)-(8.16) алгоритм симплекс-метода дополняется правилом ограниченного ввода:

если в базисном решении имеется vj, то не может вводиться xj (с тем жеиндексом) и наоборот;

если в базисном решении имеется wi, то не может вводиться li (с тем жеиндексом) и наоборот.

Иначе говоря, в базисном решении не могут находиться одновременно переменные v, x (w, l) с одинаковыми индексами. Если по оценкам претендентом на ввод является переменная, которую согласно правилу нельзя вводить, в базисное решение вводится другая переменная с положительной оценкой.

Признаком выполнения условий теоремы (8.13)-(8.16) и, следовательно, оптимальности решения задачи КП является равенство нулю всех искусственных переменных или Lиск=0.

Очевидно, что рассмотренный метод находит за конечное число шагов глобальное решение задачи КП с вогнутой функцией цели. При строгой вогнутости задача имеет одно решение, при нестрогой вогнутости возможно множество решений. Если функция не является вогнутой, метод находит некоторый локальный максимум.

Пример 8.2. Найти решение следующей задачи КП:

Перепише целевую функцию в векторной форме:

По матрице С (гессиану) проверяем достаточные условия: D1=-4 0. Значит, f имеет максимум и строго вогнутая.

Записываем первую систему уравнений (8.17):

Для образования начального базисного решения вводим в первую систему искусственные переменные y1 и y2:

Квадратичный симплекс-метод

Рассмотрим задачу квадратичного программирования, которая состоит в нахождении минимального значения функции Z= Z(x1 , х2, …,хn)

Она является частным случаем задачи выпуклого программирования, поэтому для ее решения можно использовать необходимые и достаточные условия Куна-Таккера для установления наличия решения. Функция Лагранжа для задачи квадратичного программирования записывается так:

, где — множители Лагранжа,

Теорема Куна-Таккера в аналитической форме может быть представлена следующими выражениями:

Соотношения (3) и (6) определяют условия дополняющей нежесткости.

Для решения данной системы можно использовать следующий прием. Неравенства (1) и (4) преобразуют в равенства, вводя соответственно две группы дополнительных переменных nj, j=1÷ n и wi , i= 1÷ m. При этом nj ≥ 0 и wi ≥ 0. В результате от системы 1-6 переходим к системе 7-12.

Таким образом, система (7) и (10) содержит (m+n) линейных уравнений с условием неотрицательности переменных (8) и (11) и условием дополняющей нежесткости (9) и (12).

Для решения такой вспомогательной задачи (7 + 10) можно использовать симплексный метод. Для нахождения исходного опорного (допустимого базисного) решения применим метод искусственного базиса (М-метод), введя искусственные переменные уk ≥0, k =1÷ (m+n), k ≤ (m+n).

Целевая функция М — вспомогательной задачи имеет вид:

Если в результате решения М-вспомогательной задачи min F(y) = 0 и все искусственные переменные уk принимают нулевые значения, кроме того, выполняются условия дополняющей нежесткости, то опорное решение вспомогательной задачи определяет оптимальное решение задачи квадратичного программирования.

Если условие нежесткости не выполняется, то надо перейти к новому опорному решению, включив в базис переменную с нулевой оценкой.

Если min F(y) > 0, то задача квадратичного программирования не имеет решения. Если хотя бы одна из искусственных переменных не равна нулю, то система основной задачи не имеет решения.

Преобразуем целевую функцию и ограничения.

Min Z =

Составляем функцию Лагранжа.

.

Находим частные производные и составляем условия Куна-Таккера (1-6).

Посредством введения дополнительных переменных преобразуем неравенства в равенства и составим систему линейных уравнений для дальнейшего решения.

Вводим искусственные переменные в первое и второе уравнения, т.к. в них нет базисных переменных.

Умножим целевую функцию на (-1) и запишем исходное опорное решение в первую симплексную таблицу.

Последовательное квадратичное программирование

Последовательное квадратичное программирование (англ. Sequential quadratic programming (SQP)) — один из наиболее распространённых и эффективных оптимизационных алгоритмов общего назначения [1] , основной идеей которого является последовательное решение задач квадратичного программирования, аппроксимирующих данную задачу оптимизации. Для оптимизационных задач без ограничений алгоритм SQP преобразуется в метод Ньютона поиска точки, в которой градиент целевой функции обращается в ноль. Для решения исходной задачи с ограничениями-равенствами метод SQP преобразуется в специальную реализацию ньютоновских методов решения системы Лагранжа.

Содержание

Основные сведения

Рассмотрим задачу нелинейного программирования следующего вида:

Лагранжиан задачи примет следующий вид:

где и — множители Лагранжа.

На итерации основного алгоритма определяются соответствующие направления поиска как решение следующей подзадачи квадратичного программирования:

См. также

Примечания

  1. Трифонов А. Г. Optimization Toolbox 2.2 Руководство пользователя // Softline Co.

Литература

  • Добавить иллюстрации.
  • Проставить для статьи более точные категории.
  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
  • Проверить качество перевода с иностранного языка.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Последовательное квадратичное программирование» в других словарях:

Оптимизация (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Оптимизация. Оптимизация в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного … Википедия

Градиентный спуск — метод нахождения локального экстремума (минимума или максимума) функции с помощью движения вдоль градиента. Для минимизации функции в направлении градиента используются методы одномерной оптимизации, например, метод золотого сечения. Также можно… … Википедия

Симплекс-метод — Не путать с «симплекс методом» методом оптимизации произвольной функции. См. Метод Нелдера Мида Симплекс метод алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в… … Википедия

Градиентные методы — численные методы решения с помощью градиента задач, сводящихся к нахождению экстремумов функции. Содержание 1 Постановка задачи решения системы уравнений в терминах методов о … Википедия

Читать еще:  Языки программирования для школьников

Генетический алгоритм — (англ. genetic algorithm) это эвристический алгоритм поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования путём случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих… … Википедия

Метод перебора — У этого термина существуют и другие значения, см. Перебор. Метод перебора (метод равномерного поиска) простейший из методов поиска значений действительно значных функций по какому либо из критериев сравнения (на максимум, на минимум, на… … Википедия

Метод сопряжённых градиентов — Метод сопряженных градиентов метод нахождения локального минимума функции на основе информации о её значениях и её градиенте. В случае квадратичной функции в минимум находится за шагов. Содержание 1 Основные понятия … Википедия

Метод золотого сечения — метод поиска значений действительно значной функции на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления в пропорциях золотого сечения. Наиболее широко известен как метод поиска экстремума в решении задач оптимизации Содержание 1 Описание… … Википедия

Метод Ньютона — Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном… … Википедия

Алгоритм Гомори — алгоритм, который используется для решения полностью целочисленных задач линейного программирования. Алгоритм включает в себя: Решение задачи одним из методов группы симплекс методов или группы методов внутренней точки без учёта требования… … Википедия

Реферат/Курсовая Квадратичное программирование

Добавлен: 04.06.13. Год: 2012. Страниц: 11. Уникальность по antiplagiat.ru: ……….

Введение
Квадратичное про граммирование – область математического програм мирования, посвященная теории решения задач, характеризующихся квадратичной зависимостью между переменными.
Программирование в управлении можно представить как п роцесс распределения ресурсов. Существует ряд различных методов, основанных на идеях математического п рограммирования, среди которых широкое п рименение нашел метод квадратичного программирования.
Применение метод а квадратичного программиро вания актуально в сегодняшнее время, так как использование математических моделей является важным направлением совершенствования плани рования и анализа деятельности компании. Представление данных в виде математической модели позволяет конкретизировать информацию, создавать и моделировать варианты, выбирать оптимальные решения.
Целью курсовой работы является изучение метода квадратичного программирования.
Для того, чтобы достичь данной цели необходимо решить следующие задачи:

    определить задачу квадратичного программирования;
    проанализировать конечный алгоритм решения задачи квадратичного программирования;
    применить конечный алгоритм на практике.

Объектом исследования является метод квадратичного программирования.
Предметом исследования является пример, рассмотренный в третьей главе данной курсовой работы.
Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

    Постановка задачи квадратичного программирования

Пусть задана квадратичная функция
(1*)
или в векторно-матричной фо рме
(1)
и линейные неравенства
, (2*)
которые в векторно-матричной фо рме запишем так:
, (2)
и пусть неравенства (2) определяют некоторую область ?, содержащую внутренние точки.
Будем предполагать, что матрица симметричная и положительно определенная, так что — выпуклая функция.
Задача квадратичного программирования формулируется так: отыскать точку , для которой достигается минимум функции (1) при ограничениях (2):
(3)
При этом задача квадратичного программирования является просто задачей нелинейного программирования с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями. И может формулироваться следующим образом: найти
при ,
где — -мерный вектор, — симметричная матрица , — -мерный вектор и — матрица .

Из всех задач нелинейного программирования задача квадратичного программиро вания является самой легкой для решения и лишь немного сложнее, чем задача линейного программирования. Рассмотрим на примере.
Пример: Финансист обдумывает, как распределить свои фонды между возможными инвестициями. Предположим, что инвестиция имеет ожидаемую прибыль на каждый вложенный доллар. Тогда, если — количество вклада в -ю инвестицию, то ожидаемая прибыль выражается, как .
Кроме того, портфель вкладов должен удовлетворять определенным ограничениям , где — матрица и — — мерный вектор. Эти математические ограничения отражают реальные ограничения финансиста, такие как суммарные фонды, лимиты на количества фондов, вложенных в данную категорию инвестиций и т.д.
Подход к решению зада чи с позиций линейного п рограммирования:
Первым приближен ием к задаче финансиста было бы решить задачу линейного программировани я максимизации ожидаемой прибыли при наличии ограничений
при .
Формулировка квадрати чного программирования:
Может оказаться, что прибыль имеет довол ьно большую дисперсию. Приведенная выше модель линейного программирования не учитывает дисперсию и может привести к плохому решению о размещении вкладов.
Чтобы включить дисперсию в наш анализ, предположим, — ковариация между вкладами и на каждый доллар, вложенный в соответствующую категорию инвестиций. Тогда матрица ковариации имеет вид и дисперсия для любого портфеля равна .
Другая формулиро вка задачи финансиста заключается в выборе портфеля вкладов, который минимизирует дисперсию и ещё обеспечивает ожидаемую прибыль не менее некоторого фиксированного количества . В итоге мы приходим к задаче квадратичного программирования:
при ,
Таким образом, мы видим, что задача квадратичного программи рования достаточно проста в решении и лишь немного сложнее, чем задача линейного программировани я.

    Конечный алгоритм решения задачи квадратичного программирования

Приведем теперь изложение одного конечного алгоритма для решения задачи (1) – (3) квадратичного программирования.
1) Составим таблицу из ограничений (2*) и частных производных минимизируемой функции (1*):

Найдем единствен ную точку , в которой достигает минимума. Если , то , и задача решена. Если же , то выберем произвольную точку (исходная точка) и вектор , вдоль которого будем двигаться к точке до встречи с границей многогранника в некоторой точке , которую будем считать первым приближением, т.е. будем увеличивать в формуле

до значений , равного наименьшему положительному среди значений

Пусть для удобства значение достигается при т.е.

При помощи соответствующего числа последовательных шагов жордановых исключений с произвольно выбранным и разрешающими элементами перебрасываем на верх таблицы столько из аннулировавшихся сколько окажется возможным. При этом каждый шаг жорданова исключения дополняется следующей операцией (реализующей правило дифференцирования сложной функции); если в результате жорданова исключения меняются местами и (т.е. — разрешающий элемент), то в полученной таблице к элементам каждой новой строки при прибавляются соответствующие элементы новой строки , умноженные на новое значение элемента (т.е. на значение — ). Полученная строка снова обозначается через . Элементы новой строки умножаются лишь на новое значение , т.е. на , и строка переименовывается в .
Действительно, если мы меняем местами и (разрешающий элемент ), то , следовательно,
а)
,
где — новая строка и — также новая строка;
б)
.
В дальнейшем под шагом жорданова иск лючения будем понимать обычный шаг жорданова и сключения с указанными дополнениями.
Пусть после последовательных шагов жордановых исключений пришли к таблице

Читать еще:  Язык программирования сайтов html

2) Определим единственную точку , в которой функция достигает относительного минимума при условии . Для этого решаем систему линейных уравнений

В качестве направления спуска из точки выбираем вектор и двигаемся вдоль этого направления, т.е. увеличиваем в формуле до тех пор, пока не достигнем , равного наименьшему положительному среди значений

Если , то и . Такую точку будем называть стационарной.
Если , то стационарная точка является решением.
Действительно, в этом случае градиент функции ортогонален лишь одной грани, например , в которой лежит точка , и направлен вне , так как гиперплоскость отделяет от . Поэтому нет направления из , не выводящего из , вдоль которого функция убывает.
Если же , то стационарная точка может не являться решением.
Действительно, в этом случае градиент функции ортогонален линейному многообразию, полученному в пересечении нескольких гиперплоскостей , т.е. ортогонален плоскости, размерности меньшей чем , не отделяющей от . Поэтому из точки возможно существование направления убывания , не выводящего из .
Если же , то не более чем через шагов либо получим стационарную точку, либо получим точку — вершину, т.е. принадлежащую граничным плоскостям, среди которых есть линейно независимых, т.е. на верху таблицы не остается ни одного . Точку будем также называть стационарной.
3) Определим направление движения из стацион арной точки. Пусть стаци онарная точка принадлежит плоскостям (в соответствии с таблицей (*)) . Тогда, если , то точка — решение задачи.
Если же , то найдем направление спуска из точки , т.е. направление , не выводящее из , вдоль которого убывает функция , так что если и выводит из плоскостей , то лишь в .
Для получения направления наискорейшего спуск а решаем следующую задачу линейного программирования: минимизировать функцию

при ограничениях

Но — независимые переменные, поэтому (в соответствии с таблицей (*))

……….

Далее, точка стационарная, т.е. , поэтому
.
В итоге мы пришли к следующей задаче линейного программирова ния: минимизировать функцию

при ограничениях
,

(так как не участвуют в нашей задаче линейного программирования, то их можно считать нулями).
Если , то , и задача решена. Если же , то двигаемся из точки в направлении решения нашей задачи линейного программирования, т.е. увеличиваем в формуле до значения , равного наименьшему положительному среди чисел

где — значение , минимизирующее функцию .
После получения точки перебрасываем на верх таблицы столько аннулировавшихся из числа , сколько окажется возможным, и с полученной таблицей производим действия п. 2). Вычисления продолжаем до получения новой стационарной точки, с которой производим действия п. 3), и т.д.
Так как алгоритм монотонный, а стационарных точек – конечное число, то после конечного числа шагов получим решение .

    Применение алгоритма квадратичного программирования на практике

Применение алгор итма квадратичного программирования рассмотрим на конкретном примере.
Пример:
Задана функция . Необходимо минимизировать заданную функцию при ограничениях:

Решение:
Предварительный шаг. Составляем таблицу:

Первый шаг.
1) Определение точки мин имума. Решив систему линейных уравнений

получим точку , в которой достигается .
Находим какую-нибудь точку , например . Действительно,
2) Определение .

3)Определение . Двигаемся вдоль луча , т.е. В итоге для шага получим: .
4) Определение новой точ ки и новых уклонений.

Второй шаг.
1) Определение точки усл овного минимума функции. Производим шаг жорданова исключения в таблице с разрешающим элементом . Получим таблицу

Решив систему линейных уравнений

найдем условную экстремальную точку функц ии (при условии ) в новых координатах :

2) Определение .

3) Определение . Двигаемся вдоль луча , т.е. Для шага получим: .
4) Определение новой точ ки и новых отклонений.

Третий шаг.
1) Определение точки усл овного минимума функции. Производим шаг жорданова исключения в таблице с разрешающим элементом . Получим таблицу

Решив уравнение , найдем условную экстремальную точку функции (при условии ) в новых координатах :

так что — стационарная точка.
Получив стационарную точку, опускаем операции 2) и 3).
4) Определение новых укл онений.

Четвертый шаг. Опускаем операцию 1).
2) Определение . Для выхода из стационарной точки решаем следующую задачу линейного программирования: минимизировать форму

при ограничениях

Для получим: .
3) Определение . Двигаемся вдоль луча , т.е. Для шага получим: где минимизирует функцию
4) Определение новой точ ки и новых уклонений.

причем

Пятый шаг.
1) Определение точки усл овного минимума функции . Решив систему линейных уравнений

найдем условную экстремальную точку функции (при условии ) в новых координатах :

так что — стационарная точка.
Так как , то и будет являться решением, т.е. функция в точке будет принимать своё минимальное значение.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод , что метод квадратичного программирования заключается в нахождении такого решения, поставленной задачи, при котором достигается минимальное влияние отрицательных факторов на исходный процесс и осуществляется получение ожидаемого результата исходного процесса не менее некоторого фиксированного количества.
В рамках данной работы была рассмотрена одна из задач квадратичного программирования, при решении которой мы применили и изучили на практике конечный алгоритм решения задачи квадратичного программирования.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector