Letysite.ru

IT Новости с интернет пространства
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Интегрирование это в программировании

Методы интегрирования

Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.

В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.

Метод непосредственного интегрирования

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.

Вычислите множество первообразных функции f ( x ) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Решение

Для начала изменим вид функции на f ( x ) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 .

Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:

∫ f ( x ) d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x

Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:

∫ f ( x ) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 ( 5 x + 4 ) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 · ∫ ( 5 x + 4 ) 1 3 d x

Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , а также правило ∫ f k · x + b d x = 1 k · F ( k · x + b ) + C .

Следовательно, ∫ f ( x ) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · ( 5 x + 4 ) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

У нас получилось следующее:

∫ f ( x ) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · ( 5 x + 4 ) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

причем C = C 1 + 3 2 C 2

Ответ: ∫ f ( x ) d x = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.

Метод подстановки

Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.

Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ 1 x 2 x — 9 d x .

Решение

Добавим еще одну переменную z = 2 x — 9 . Теперь нам нужно выразить x через z :

z 2 = 2 x — 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 ‘ d z = 1 2 · z d z = z d z

Далее подставляем полученные выражения в исходный интеграл и получаем:

∫ d x x 2 x — 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Берем таблицу первообразных и узнаем, что 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Теперь нам нужно вернуться к переменной x и получить ответ:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x — 9 3 + C

Ответ: ∫ 1 x 2 x — 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x — 9 3 + C .

Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида x m ( a + b x n ) p , где значения m , n , p являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.

Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.

Этот метод объясняет правило интегрирования ∫ f ( k · x + b ) d x = 1 k · F ( k · x + b ) + C .

Добавляем еще одну переменную z = k · x + b . У нас получается следующее:

x = z k — b k ⇒ d x = d z k — b k = z k — b k ‘ d z = d z k

Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:

∫ f ( k · x + b ) d x = ∫ f ( z ) · d z k = 1 k · ∫ f ( z ) d z = = 1 k · F z + C 1 = F ( z ) k + C 1 k

Если же мы примем C 1 k = C и вернемся к исходной переменной x , то у нас получится:

F ( z ) k + C 1 k = 1 k · F k x + b + C

Метод подведения под знак дифференциала

Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида f ( g ( x ) ) d ( g ( x ) ) . После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную z = g ( x ) , находим для нее первообразную и возвращаемся к исходной переменной.

∫ f ( g ( x ) ) d ( g ( x ) ) = g ( x ) = z = ∫ f ( z ) d ( z ) = = F ( z ) + C = z = g ( x ) = F ( g ( x ) ) + C

Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ c t g x d x .

Решение

Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.

c t g x d x = cos s d x sin x

Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала cos x · d x = d ( sin x ) , значит:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x , т.е. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Допустим, что sin x = z , в таком случае ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Согласно таблице первообразных, ∫ d z z = ln z + C . Теперь вернемся к исходной переменной ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Все решение в кратком виде можно записать так:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Ответ: ∫ с t g x d x = ln sin x + C

Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f ( x ) d x = u ( x ) · v ‘ x d x = u ( x ) · d ( v ( x ) ) , после чего применяется формула ∫ u ( x ) · d ( v ( x ) ) = u ( x ) · v ( x ) — ∫ v ( x ) · d u ( x ) . Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ a r c t g ( 2 x ) d x .

Решение

Допустим, что u ( x ) = a r c t g ( 2 x ) , d ( v ( x ) ) = d x , в таком случае:

d ( u ( x ) ) = u ‘ ( x ) d x = a r c t g ( 2 x ) ‘ d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v ( x ) = ∫ d ( v ( x ) ) = ∫ d x = x

Когда мы вычисляем значение функции v ( x ) , прибавлять постоянную произвольную С не следует.

Далее используем формулу интегрирования по частям и получаем:

∫ a r c t g ( 2 x ) d x = u ( x ) · v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = x · a r c t g ( 2 x ) — ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.

Поскольку ∫ a r c t g ( 2 x ) d x = u ( x ) · v ( x ) — ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = x · a r c t g ( 2 x ) — ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , тогда 2 x d x = 1 4 d ( 1 + 4 x 2 ) .

∫ a r c t g ( 2 x ) d x = x · a r c t g ( 2 x ) — ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g ( 2 x ) — 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g ( 2 x ) — 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Ответ: ∫ a r c t g ( 2 x ) d x = x · a r c t g ( 2 x ) — 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u ( x ) . В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.

Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.

Если мы интегрируем степенное выражение вида sin 7 x · d x или d x ( x 2 + a 2 ) 8 , то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.

Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.

Читать еще:  Решить и проанализировать задачу нелинейного программирования

Изучение и программирование численных методов интегрирования

Страницы работы

Содержание работы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПММ(2к1с)-07

ИЗУЧЕНИЕ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Цель работы: изучение и программирование численных методов интегрирования и получения результата с заданной точностью на основе теоретических оценок погрешности.

1. Квадратурные формулы

Рассмотрим практическую задачу. Какой путь пролетел этот объект по прямолинейной траектории, если результаты измерения его скорости следующие:

Таким образом, задача свелась к вычислению определенного интеграла.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где y(x) — некоторая заданная на отрезке [а,b] функция. Известно, что аналитическими методами вычисляется лишь довольно узкий класс интегралов, поэтому в большинстве практически важных задач возни­кает необходимость приближенного вычисления определенного интег­рала с помощью ЭВМ, с заранее заданной точностью ε.

Интеграл для неотрицательных функций f(x) геометрически представляет собой площадь фигуры, сверху ограниченной графиком кривой y=f(x).

Во многих случаях выражение для первообразной не существует, или же подинтегральная функция может быть задана не в виде формулы, а в табличном виде.

В этих случаях подынтегральную функцию заменяют на некоторую интерполирующую функцию, интеграл от которой легко вычисляется в явном виде.

Приближенное вычисление интеграла основано на том, что на малых участках подынтегральная функция заменяется на элементарную функцию с известным поведением, соответствующим поведению инте­грируемой функции, и считается площадь, ограниченная сверху гра­фиком этой новой функции. Если отклонения от исходной функции невелики, то невелика и погрешность такого расчета. Формулы при­ближенного интегрирования различаются между собой выбором прибли­жений.

получаем общий вид квадратурной формулы

где Ai – весовые коэффициенты, xi – узлы квадратурной формулы, R – погрешность квадратурной формулы.

Квадратурные формулы, полученные на основе интерполяционных полиномов Лагранжа, называются формулами Ньютона-Котеса.

Численное интегрирование применяется, если:

1) подынтегральная функция задана таблицей значений;

2) определенный интеграл не вычисляется в элементарных функциях;

3) подинтегральная функция является громоздкой, сложной для аналитического интегрирования.

2. Методы прямоугольников

В методе прямоугольников подинтегральную функцию приближенно описывают с помощью полинома нулевого порядка – константы.

P(x) = a = const. Система узлов .

Метод левых прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Метод центральных прямоугольников

Погрешность методов правых и левых прямоугольников

h, поэтому эти методы практически не используются в научных и технических расчетах.

Теоретическая оценка погрешности для формулы центральный прямоугольников имеет вид

;

Таким образом, верхний предел погрешности

3. Квадратурная формула трапеций

Разобьем интервал [а,b] на N (в общем случае неравных) частей точками x, x1, x2, … xi, … xN, причем x=a, xN=b. Обозначим значения подинтегральной функции y=f(x) в этих точках через y, y1, y2, … yi, … yN, то есть, yi=f(xi). Отметим, что длина интервала разбиения h=(b-a)/N тем меньше, чем больше N.

Рассмотрим малый участок [xi-1, xi], i=1, . N. При­меним к подинтегральной функции линейную интерполяцию, то есть, заменим график функции y=f(x) на отрезке [xi-1, xi] отрезком пря­мой, проходящей через точки (хi-1, уi-1) и (хi, уi). Площадь получившейся прямоугольной трапеции будет близка к интегралу от заданной функции

Просуммируем все такие приближенные площади

и учтем, что в сумме все значения функции, кроме крайних точек, встречаются дважды. В результате получаем формулу трапеций для расчета определенного интеграла:

Теоретическая оценка погрешности для метода трапеций имеет вид

где M2 – максимальное значение модуля второй производной (3.6). Таким образом, верхний предел погрешности

Видно, что теоретически метод центральных прямоугольников вдвое точнее метода трапеций.

Приведем алгоритм расчета по методу трапеций:

Описать функцию y(x)

Задать значения a,b,N

Для i от 1 до N-1 выполнять

Вывод результата I

4. Метод Симпсона (парабол)

В этом методе также используется разбиение отрезка интегрирования [а,b] на N равных частей, причем N должно быть четным, так как приближенная формула применяется к каждой паре элементар­ных отрезков.

Рассмотрим отрезок [xi,xi+2] длины 2h и применим к подинтегральной функции на этом отрезке квадратичную интерполяцию.

Интегрированная среда разработки

Интегри́рованная среда́ разрабо́тки, ИСР (англ. IDE, Integrated development environment или integrated debugging environment ) — система программных средств, используемая программистами для разработки программного обеспечения (ПО).

Обычно среда разработки включает в себя:

Иногда содержит также средства для интеграции с системами управления версиями и разнообразные инструменты для упрощения конструирования графического интерфейса пользователя. Многие современные среды разработки также включают браузер классов, инспектор объектов и диаграмму иерархии классов — для использования при объектно-ориентированной разработке ПО. Хотя и существуют ИСР, предназначенные для нескольких языков программирования — такие, как Eclipse, NetBeans, Embarcadero RAD Studio, Qt Creator или Microsoft Visual Studio, но обычно ИСР предназначается для одного определённого языка программирования — как, например, Visual Basic, Delphi, Dev-C++.

Частный случай ИСР — среды визуальной разработки, которые включают в себя возможность визуального редактирования интерфейса программы.

Содержание

Обзор

Интегрированные среды разработки были созданы для того, чтобы максимизировать производительность программиста благодаря тесно связанным компонентам с простыми пользовательскими интерфейсами. Это позволяет разработчику сделать меньше действий для переключения различных режимов, в отличие от дискретных программ разработки. Однако, так как IDE является сложным программным комплексом, то лишь после долгого процесса обучения среда разработки сможет качественно ускорить процесс разработки ПО.

Обычно IDE ориентирована на определённый язык программирования, предоставляя набор функций, который наиболее близко соответствует парадигмам этого языка программирования. Однако, есть некоторые IDE с поддержкой нескольких языков, такие как Eclipse, ActiveState Komodo, последние версии NetBeans, Microsoft Visual Studio, WinDev и Xcode.

IDE обычно представляет собой единственную программу, в которой проводилась вся разработка. Она обычно содержит много функций для создания, изменения, компилирования, развертывания и отладки программного обеспечения. Цель среды разработки заключается в том, чтобы абстрагировать конфигурацию, необходимую, чтобы объединить утилиты командной строки в одном модуле, который позволит уменьшить время, чтобы изучить язык, и повысить производительность разработчика. Также считается, что трудная интеграция задач разработки может далее повысить производительность. Например, IDE позволяет проанализировать код и тем самым обеспечить мгновенную обратную связь и уведомить о синтаксических ошибках. В то время как большинство современных IDE являются графическими, они использовались ещё до того, как появились системы управления окнами (которые реализованы в Microsoft Windows или X11 для *nix-систем). Они были основаны на тексте, используя функциональные клавиши или горячие клавиши, чтобы выполнить различные задачи (например, Turbo Pascal). Использование IDE для разработки программного обеспечения является прямой противоположностью способа, в котором используются несвязанные инструменты, такие как vi (текстовый редактор), GCC (компилятор), и т.п.

Читать еще:  Технология программирования это

История

Первые IDE были созданы для работы через консоль или терминал. Ранние системы не могли поддерживать того, что программы были подготовлены, используя блок-схемы, вводя текст с перфорированных карт (или перфолента, и т.д.) прежде, чем представить их компилятору. Dartmouth BASIC был первым языком, который был создан с IDE (и был также первым, который был разработан для использования в консоли или терминале). Эта IDE (часть Dartmouth Time Sharing System) была командная (т.е. управлялась при помощи команд), и поэтому очень отличалась от управляемых с помощью меню, графических IDE, распространённых сегодня. Однако это позволило редактировать, управлять файлами, компилировать, отлаживать и выполнять способом, непротиворечивым современным IDE.

Maestro I — продукт от Softlab Munich и был первой в мире интегрированной средой разработки для программного обеспечения в 1975 г. [2] Maestro I был установлен для 22,000 программистов во всем мире. До 1989 6,000 установок существовали в Федеративной Республике Германия. Maestro I был возможно мировым лидером в этом поле в течение 1970-х и 1980-х. На сегодняшний день Maestro I может быть найден разве что в Музее Информационной технологии в Арлингтоне.

Одной из первых IDE с возможностью подключения плагинов была Softbench. В 1995 Computerwoche прокомментировал, что использование IDE не было хорошо воспринято разработчиками, обосновывая это тем, что они будут ограничивать их в творческом потенциале.

Интегрированные среды разработки также часто поддерживают пометки в комментариях в исходном тексте программ, отмечающий места, требующие дальнейшего внимания или предполагающие внесение изменений, такие как TODO [3] [4] . В дальнейшем эти пометки могут выделяться редакторами (напр. vim [5] , emacs [6] , встроенный редактор Visual Studio [7] ) или использоваться для организации совместной работы с построением тегов и задач (например, в IntelliJ [8] ). В руководстве по оформлению исходных текстов Android приводится следующий формат записи [значимость факта?] :

Там же указывается, что в случае использования @SupressWarring обязательно указание TODO с объяснением причин подавления предупреждения [9] .

Использование комментариев с TODO так же является стандартом оформления кода на Object Pascal, Delphi [10] [значимость факта?] .

Microsoft в руководстве по Visual Studio рекомендует использовать тег TODO (наравне с HACK, UNDONE) для следующих пометок:

  • добавление новых функций
  • известных проблем, которые нужно устранить
  • предполагаемых к реализации классов
  • мест размещения кода обработчиков ошибок
  • напоминаний о необходимости переработки участка кода [4][11] .

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Доверь свою работу кандидату наук!

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

  • Линейность:

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

  • При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Читать еще:  Семантика языка программирования

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Почему вы не знаете, как решать интегралы

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

  • вычисление площади фигуры.
  • вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
  • определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
  • и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector